1802. december 5-én született Kolozsváron, az egyik leghíresebb magyar matematikus, hadmérnök, Bolyai Farkas fia.
A bécsi hadmérnöki egyetemen tanult, 21 éves korában már hadnagy, 22 évesen főhadnagy és 24 éves korában mérnökkari százados lett. Sokoldalú tehetség volt, virtuóz hegedűsként és nagyszerű vívóként egyaránt jeleskedett.
1820 és 1823 között dolgozta ki és írta meg korszakalkotó felfedezését: a nemeuklideszi geometriáját, amelyet abszolút, illetve hiperbolikus geometriának neveztek neves kortársai. Tudományos felfedezése 1832-ben Appendix címen apja Tentamen-je első kötetének függelékeként jelent meg, melyet francia és német nyelvre fordítottak le. A komplex számokról írott művében (Responsio - 1837) határozta meg az álprím számokat (341), amelyek főként a 20. században kerültek előtérbe a kriptográfia területén.
Bolyai azon igen kevés magyar híresség közé tartozik, akikről a hálás utókor krátert nevezett el a Holdon. (Átmérő: 50 km, szélesség: 36° D, hosszúság: 134° K)